me gustas: Floating Point, 32 bit dan 64 bit

November 15, 2019 | 0 Comments

Floating Point, 32 bit dan 64 bit

Bismillah, sebagai salah satu tugas mata kuliah Fundamen Informatika, disini saya akan menguraikan beberapa tentang hal yang berkaitan dengan judul.

Floating Point Arithmetic

Floating point adalah sebuah bilangan yang digunakan untuk menggambarkan sebuah nilai yang sangat besar atau sangat kecil. Bilangan tersebut dapat diwujudkan dalam notasi ilmiah, yaitu berupa angka pecahan desimal dikalikan dengan angka 10 pangkat bilagnan tertentu. Bilangan seperti ini dapat direpresentasikan menjadi dua bagian, yaitu bagian mantisa dan bagian eksponen (E). Bagian mantisa menentukan digit dalam angka tersebut, sedangkan eksponen menentukan nilai berapa besar pangkat pada bagian mantisa tersebut (jarak dari titik posisi desimal). Contoh :

Misalkan terdapat sebuah bilangan 8934000000 maka bilangan ini dapat dituliskan dalam bentuk bilangan floating point. 8934E6 yang secara matematis artinya : 8934 x 10⁶

Bagian mantisanya adalah 8934 dan bagian eksponennya adalah E6

Cara penulisan angka seperti ini merupakan cara singkat untuk menuliskan angka yang nilainya sangat besar maupun sangat kecil atau disebut floating point number. Bilangan seperti ini banyak digunakan dalam pemrosesan grafik dan kerja ilmiah. Proses aritmatika bilangan floating point memang lebih rumit dan prosesor membutuhkan waktu yang lebih lama untuk mengerjakannya, karena mungkin akan menggunakan beberapa siklus detak (clock cycle) prosesor.

Oleh karena itu beberapa jenis komputer menggunakan prosesor sendiri untuk menangani bilangan floating point. Prosesor yang khusus menangani bilangan floating point disebut Floating Pont Unit (FPU) atau disebut juga dengan nama math co-processor.

Notasi floating-point dapat digunakan untuk merepresentasikan baik bilangan yang sangat besar (|N| » 0), bilangan yang sangat kecil atau dekat dengan nol (|N| « 1), maupun bilangan yang terdiri dari keduanya. Floating-point membuat proses operasi aritmatika menjadi relatif lebih mudah. Floating-point merepresentasi bilangan nyata dalam bentuk persamaan:

N = m × Re

Dimana:

m merupakan bagian bilangan pecahan yang biasa disebut significand atau mantissa

e adalah bagian bilangan bulat yang biasa disebut exponent

R merupakan basis dari suatu sistem bilangan

Bagian bilangan pecahan m merupakan p-digit bilangan dengan bentuk (±d.dddd … dd), dimana semua digit d adalah bilangan bulat antara 0 dan R-1. Jika digit terdepan (sebelaH kiri) dari m bukan angka nol, maka bilangan ini dapat dikatakan sebagai normalized.

Sebagai contoh, bilangan desimal 0,0003754 dan 1234 dapat direpresentasi dalam notasi floating point sebagai 3,754 × 10−4 dan 1,234 × 103. Bilangan heksadesimal 257,ABF dapat direpresentasi sebagai 2,57ABF × 162. Dalam kasus bilangan biner normalized, angka terdepan (MSB) selalu ‘1’ dan dengan demikian tidak perlu disimpan secara eksplisit. Bilangan biner campuran 1100,10112 dapar direpresentasi dalam notasi floating point sebagai 0,1101011 × 23 = 0,1101011e+0011. Disini, 0,1101011 adalah mantissa dan e+0011 menunjukan bahwa eksponennya adalah +3. Contoh lainnya, 0,0001112 dapat ditulis sebagai 0,111e-0011, dengan 0,111 adalah mantissa dan e-0011 menunjukkan eksponen dari -3. Jika kita ingin merepresentasikan mantissa menggunakan delapan bit, maka angka 0,1101011 dan 0,111 dapat ditulis seperti 0,11010110 dan 0,11100000.

Rentang Angka dan Presisi

Rentang angka dapat direpresentasikan dalam mesin apapun tergantung dari jumlah bit dalam eksponen, sedangkan akurasi pecahan atau presisi pada akhirnya ditentukan oleh jumlah bit dalam mantissa. Semakin tinggi jumlah bit dalam eksponen, maka semakin besar rentang angka yang dapat direpresentasikan.

Misalnya, rentang angka yang mungkin pada format bilangan biner floating-point yang menggunakan 6-bits untuk merepresentasi besarnya eksponen adalah 2-64 sampai 2+64, dimana nilai ini setara dengan rentang 10-19 sampai 10+19.

Presisi ditentukan oleh jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasi mantissa. Hal ini biasanya direpresentasikan sebagai angka desimal presisi. Konsep presisi sebagaimana didefinisikan terhadap notasi floating-point dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut.

Jika mantissa disimpan dalam jumlah n bit, maka itu dapat merepresentasi sebuah bilangan desimal antara 0 dan 2n-1 seperti mantissa yang disimpan sebagai bilangan bulat tak-bertanda (unsigned).

Jika M adalah bilangan terbesar seperti 10M-1 kurang dari atau sama dengan 2n-1, maka M adalah presisi yang dinyatakan sebagai angka desimal presisi.

Misalnya, jika mantissa dinyatakan dalam 20 bit, maka angka desima presisi dapat ditemukan sekitar 6, seperti 220-1 sama dengan 1 048 575 dimana sedikit lebih kecil dari 106-1.

Format Bilangan Floating-Point

Format bilangan floating-point biner telah distandarkan oleh IEEE 754-2008 (atau ISO/IEC/IEEE 60559:2011), yaitu meliputi format 16-bit (half), 32-bit (single-precision), 64-bit (double-precision), 80-bit (double-extended) dan 128-bit (quad-precision). Pada artikel ini hanya akan dibahas tentang format dasar, yaitu 32-bit dan 64-bit.

1. Bilangan Floating-Point 32-bit (single-precision)

Bilangan floating-point 32-bit tersusun atas:
• 1 bit tanda (S)
• 8 bit eksponen (E)
• 23 bit mantisa (M)

Bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S = 0 dan negatif jika S = 1. Field eksponen adalah basis 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-127. Nilai 127 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 127. Dengan excess-127, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 255.

Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 255:
E = 0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
E = 255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0)
Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 254 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -126 sampai 127. Contoh: E_min(1) = −126, E(50) = −77, dan E_max(254) = 127.

November 15, 2019 | 0 Cloud(s)

Floating Point, 32 bit dan 64 bit

Bismillah, sebagai salah satu tugas mata kuliah Fundamen Informatika, disini saya akan menguraikan beberapa tentang hal yang berkaitan dengan judul.

Floating Point Arithmetic

Misalkan terdapat sebuah bilangan 8934000000 maka bilangan ini dapat dituliskan dalam bentuk bilangan floating point. 8934E6 yang secara matematis artinya : 8934 x 10⁶

Bagian mantisanya adalah 8934 dan bagian eksponennya adalah E6

N = m × Re

Dimana:

m merupakan bagian bilangan pecahan yang biasa disebut significand atau mantissa

e adalah bagian bilangan bulat yang biasa disebut exponent

R merupakan basis dari suatu sistem bilangan

Rentang Angka dan Presisi

Jika mantissa disimpan dalam jumlah n bit, maka itu dapat merepresentasi sebuah bilangan desimal antara 0 dan 2n-1 seperti mantissa yang disimpan sebagai bilangan bulat tak-bertanda (unsigned).

Jika M adalah bilangan terbesar seperti 10M-1 kurang dari atau sama dengan 2n-1, maka M adalah presisi yang dinyatakan sebagai angka desimal presisi.

Misalnya, jika mantissa dinyatakan dalam 20 bit, maka angka desima presisi dapat ditemukan sekitar 6, seperti 220-1 sama dengan 1 048 575 dimana sedikit lebih kecil dari 106-1.

Format Bilangan Floating-Point

1. Bilangan Floating-Point 32-bit (single-precision)

Bilangan floating-point 32-bit tersusun atas:
• 1 bit tanda (S)
• 8 bit eksponen (E)
• 23 bit mantisa (M)

Tabel nilai eksponen di format floating-point 32-bit
Eksponen (E)	Mantissa = 0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	Subnormal	(−1)^S × 0.bit signifikan × 2⁻¹²⁶
1-254		Nilai ternormalisasi	(−1)^S × 0.bit signifikan × 2^E−127
255	∞	Bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Saat nilai mantissa (M) dinormalisasi, most significant bit (MSB) selalu 1. Namun, bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa (Tabel diatas). Nilai mantissa yang sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Di bilangan subnormal, nilai mantissa sebenarnya adalah 0.M, sehingga bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 23 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 24 bit atau sekitar 7 digit desimal (yaitu 24 × log₁₀(2) = 7,225). Dalam bahasa pemrograman, suatu bilangan single-precision ini dideklarasikan dengan tipe data float (C, C++, Java) atau single (Pascal, VB, MATLAB).

2. Bilangan Floating-Point 64-bit (double-precision)

Bilangan floating-point 64-bit tersusun atas:
• 1 bit tanda (S)
• 11 bit eksponen (E)
• 52 bit mantisa (M)

Seperti halnya dengan bilangan single-precission, bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S = 0 dan negatif jika S = 1. Field eksponen adalah basis 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-1023. Nilai 1023 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 1023. Dengan excess-1023, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 2047.

Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 2047:
E = 0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
E = 255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0)
Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 2047 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -1022 sampai 1023. Contoh: E_min(1) = −1022, E(100) = −923, dan E_max(254) = 1023.

Tabel nilai eksponen di format floating-point 64-bit
Eksponen (E)	Mantissa = 0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	Subnormal	(−1)^S × 0.bit signifikan × 2⁻¹⁰²²
1-2046		Nilai ternormalisasi	(−1)^S × 0.bit signifikan × 2^E−1023
2047	∞	Bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Nilai mantisa (M) dinormalisasi, yang berarti most significant bit (MSB) selalu 1. Bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa. Nilai mantisa sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 52 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 53 bit atau sekitar 16 digit desimal (yaitu 53 × log₁₀(2) = 15.955). Dalam pemrograman, suatu bilangan double-precision ini dideklarasikan dengan tipe data double (C, C++, Java).

sumber

https://tugasnumpuk3.wordpress.com/2013/10/20/floating-point-arithmetic/

0 Komentar:

Posting Komentar

G e t c l o s e r w i t h me

Hi! I'm Khairunnisa Nurrahmatia Salsabila. A 19 years old girl living in Indonesia. A girl who loves to write anything she can't say out loud, she find better to write down here.
Her babies; Komik Kecil-Kecil Punya Karya "The Grumpy Cats" (has been re-publishing as another title) and Time Capsule

The Grumpy Cat

republish of the grumpy cat

Time Capsule, self-publishing, coming soon on book store